EL NÚMERO DE LA LEYENDA SOBRE EL ORIGEN DEL AJEDREZ

Planeando motivar una clase sobre progresión geométrica a desarrollar en algún momento en uno de mis centros de labores, se me ocurrió utilizar una conocida leyenda sobre el origen del ajedrez. Esta leyenda

“ (…) atribuye la invención del ajedrez a Sissa, hijo de Dahir, quien, encargado de educar e instruir a un príncipe real, se propuso componer un juego en el que el rey, no obstante ser la pieza principal, nada pudiera hacer si ayuda de sus súbditos. Agradó tanto al príncipe el juego que ofreció al autor pedir todo lo que quisiera; y éste, para dar una nueva lección a su real discípulo, le solicitó un grano de trigo para la primera casilla, dos para la segunda, cuatro para la tercera, ocho para la cuarta, y así sucesivamente, y siempre doblando hasta llegar a la casilla 64, con la condición de que todos los granos sean entregados juntos. La petición, que tan modesta parecía a primera vista, fue concedida; pero después de efectuados los cálculos, resultó que toda la producción de la India no bastó para satisfacerla. La cantidad de granos requerida era de:

18 446 744 073 709 551 615

Este número equivale, aproximadamente a 76 veces la producción anual de trigo de todos los continentes.”

(Yupana, revista del profesor de matemática Nº 1, Círculo de Estudios “Nicolás Bourbaki”, Universidad Nacional de Educación, p. 25)

Por otro lado, en el libro “El mundo de la matemática” (Tomo 4. Barcelona, ediciones Océano S. A., 1983, p. 350) aparece

18 445 815 160 671 830 015

como la cantidad de granos de trigo. Como estas dos eran las únicas fuentes a mi alcance sobre esta
historia y ambas me mostraban resultados diferentes, y dado que me pareció importante mostrar el número correcto a los alumnos como parte de la historia, decidí averiguar cual era el valor exacto del número.
Bajo las condiciones de la historia notamos que el pedido de Sissa obedecía a una progresión geométrica donde

a = 1
r = 2
n = 64

Tenemos que

es un número muy grande, que la calculadora no encuentra con precisión. La calculadora científica muestra el resultado

    

Con esto parecía que la primera opción era la correcta pero existía la posibilidad de que contuviese algún error. Me era preciso hallar la respuesta exacta a

para estar plenamente seguro de esa respuesta.

Ahora el problema se puede plantear como un reto para los alumnos más adelantados:


¿Cómo hallar el valor exacto de 

usando una calculadora simple que muestra ocho dígitos? Para solucionarlo sólo son necesarios conocimientos simples estudiados en la escuela secundaria.


Lo que hice fue lo siguiente:

Ordenando un sumando debajo de otro

Es el número buscado.